Волновые детерминированные и стохастические цвето-геометрические фракталы ©

Щеглов Г. П.

канд. техн. наук, доцент

Тульский государственный университет, Россия, г. Тула

Интродукция. "О, сколько нам событий чУдных"... Новый класс: цвето-геометрические фракталы Life+!

Два имени , которые привлекают внимание автора в течение нескольких десятилетий - это Джон Конвей и Бенуа Мандельброт.

Содержание статьи.

Введение. The Game of Life Джона Хортона Конвея. Фрактальная геометрия Бенуа Мандельброта.

Машинная графика как объединение классических направлений Конвея и Мандельброта. Пример.

Классификации алгоритмов построения фракталов. Геометрические, алгебраические, стохастические фракталы. Фрактал и множество Мандельброта. Проблемы цвета. Примеры.

Характеристики алгоритмов Game of Life и Life+. Классический орто-диагональный и авторский ортогональный алгоритмы. Волновое распостранение изображений. Проблемы цвета. Примеры.

Реализация в системе HTML-JavaScript-Canvas фрактального ортогонального суперпозированного алгоритма преобразований. Формат 100х100 и 600х600. Множественные примеры.

Заключение. Новый, комбинированный класс волновых цвето-геометрических фракталов.


Два имени, которые привлекают внимание автора в течение нескольких десятилетий - это Джон Конвей и Бенуа Мандельброт.

Первый - создатель The Game of Life , в раннем русскоязычном переводе Эволюция, позднее Игра Жизнь . Гениальное изобретение /1970/ Д.Х. Конвея, проф. Принстона и Кембриджа. В классическом представлении - одноцветная, пассивная, созерцательная игра одного игрока (zero-game), которая происходит на бесконечном клетчатом поле.

Авторские расширения классической игры - Game of Life+ - это активные монохромная, шахматная (two-color) Эволюция, азартные и цветные (full-color) Игры по классическому и новым алгоритмам, тема поиска предесессоров... Правила, авторские дополнения, исследования по теме.... см. сайт автора >>

http://shcheglov.clan.su .

Другой - автор понятий фрактал, фрактальная геометрия, появившихся в конце 70 гг.. Фрактал (от латинского fractus) означает состоящий из фрагментов , предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, самоподобных структур.

В 1977 году выходит книга Мандельброта ` The Fractal Geometry of Nature', в которой использованы научные результаты Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантора, Хаусдорфа. Сейчас идет активная работа по объединению этих и др. направлений в единую систему.

Роль машинной графики в этом сегодня достаточно велика, причем как в области фрактальной геометрии, так в графическом представлении результатов изысканий, в том числе авторских, по теме Life+.

Для увеличения изображения здесь и далее нажмите на картинку!

Автор пытается объединить эти два направления, при том что они имеют много общего.... В большинстве своем это машинные реализации. Это созерцательные игры одного игрока на бесконечном игровом поле... Это наличие исходной фигуры - прообраза, а также генератора повторений этой фигуры в том или ином ее виде, то есть алгоритма преобразований...

Прототипом того, что автор называет фракталами Life+, являются геометрические построения известной Game of Life, но... классический, по Конвею, алгоритм преобразований является здесь довольно слабым для фракталов...

Классический (орто-диагональный) алгоритм преобразований - итераций все-таки показывает свою ограниченность в смысле цвета и геометрики новообразований. Фигура может зациклиться или приостановить свое развитие, а то и вовсе погибнуть...

Более сильным, настоящим генератором представляется ортогональный (в отличие от классического орто-диагонального) алгоритм построения изображений...

Кроме того, фракталы являются первоначально все-таки монохромными образованиями, а цвет просто в последующем искусственно накладывается, например, по типу фотошопа. Цвет же в фракталах Life+ является неотъемлемой частью алгоритмов преобразований.


Определить место авторских направлений в системе фрактальной геометрии и машинной графики поможет приводимые ниже характеристики алгоритмов построения фракталов - типа А и В, а также сопряженных, по мнению автора, алгоритмов Game of Life и Life+.

Классификация А: геометрические, алгебраические, стохастические фракталы.

1. Геометрические фракталы - самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью ломаной, называемой прообразом, или затравкой. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную в соответствующем масштабе.

Пример - триадная кривая Коха. Прямолинейный отрезок длиной 1, также называемый затравкой, разбивается на три равные части длиной в 1/3, отбрасывается среднюю часть и заменяется ломаной из двух звеньев длиной 1/3. Получается ломаная, состоящая из 4 звеньев с общей длиной 4/3 , то есть первое поколение...

2. Алгебраические фракталы - самая крупная группа. Наиболее изучены двухмерные итерационный процессы их построения, представляя которые можно пользоваться терминологией этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.

Пример - множество Мандельброта, алгоритм построения которого зиждется на итерационном выражении: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C, где Zi и C - некие переменные.

В продолжение рассуждений относительно цвета в фрактальных построениях отметим, что цвет очередной точки C, при том что Z[i] остается внутри текущей области пространства построений в течение достаточно длительного периода, определяется итерационным процессом, при торможении которого (см. область деградации) ведущий элемент обретает черный (мертвый - ?) цвет.

Алгебраический фрактал - множество Мандельброта. Как иллюстрация приводится ссылка на работу А. Мичурина, где предлагается участвовать в принудительной, апостериори, раскраске фрактала Мандельброта >>

http://www.michurin.net/online-tools/mandelbrot.html

Фрактальный микроскоп - к фракталу Мандельброта. Принудительная раскраска на границах, в центре наличествуют зоны деградации (мертвые зоны).

3. Стохастические фракталы - в этом случае в итерационном процессе построения фрактала хаотически изменяются какие-либо его параметры. Можно предложить неравные части разбиения затравки, случайные изменения длин и углов сопряжения элементов по п.1...

Далее, например, отслеживать параметры торможения процесса по п.2, и случайно расцвечивать его оттенками серого. Совершать инъекции 'омоложения' деградирующего процесса...

Стохастические фракталы требуют особого внимания в связи с неравнодушным отношением автора к статистике вообще, и статистической динамике, в частности. Развитие этой темы - в отдельном материала автора.


Классификация В: детерминированные (алгебраические и геометрические), недетерминированные (стохастические) фракталы.


Исследуемые автором итерации Life+ включают все (или почти все) элементы приведенных выше классификаций. Подробнее далее...

Классический алгоритм преобразований (итераций) по Конвею.

1. Существование. Каждая фишка, по соседству с которой насчитывается две или три фишки, продолжает жить в следующем поколении, то есть остается на поле.

2. Отмирание. 2а. Каждая фишка, по соседству с которой оказалось четыре, и более соседей, отмирает в следующем поколении из-за перенаселенности. 2б. Каждая фишка, по соседству с которой оказалось один или ноль соседей, отмирает в следующем поколении из-за одиночества.

3. Рождение. В каждой пустой клетке, по соседству с которой оказалось ровно три соседа, на следующем ходу нарождается фишка.

4. Цветность как дополнительное правило (от автора). Цвет вновь рожденной фишки определяется по преобладанию цвета в порождающей ее триаде фишек.



Правило 4 в большей степени относится к двухцветному, шахматному варианту игры. Ниже, для реализации цветности, будет использоваться принцип декомпозиции - суперпозиции цвета.

Формально правила 1-3 запишутся как D2: B3/S2,3/D1,4-6. Здесь D2 - размерность пространства, Birth - рождение , Survival - выживание, Death - отмирание. Указанные правила применяются ко всем полям (клеткам) игрового пространства.

К алгоритмам преобразований: орто-диагональному - рис. слева и ортогональному - рис. справа.

Поля окружения произвольно взятой фишки d4 - рис. слева. Ортогонально расположенные (помечено *) для d4 соседние поля - рис. справа.

Классический (орто-диагональный) алгоритм преобразований - итераций все-таки показывает свою ограниченность в смысле цвета и геометрики новообразований. Фигура может зациклиться или приостановить свое развитие, а то и вовсе погибнуть...

Это нисколько не преуменьшает его выдающихся достоинств, особенно в области аналитики построений, как-то: в активной игре, в азартных приложениях, при моделировании некоторых явлений природы... см сайт автора... Отметим, ведь в шахматах не требуется красивой геометрии или сочетания цвета (кроме как в специальных этюдах!).


Ортогональный алгоритм, предложенный автором в развитие классической Game of Life , напротив, имеет огромный потенциал роста, показывает неостановимую генерацию, производство поколений. Препятствием этому может стать лишь ограниченное игровое поле, что вполне алгоритмически преодолевается.

Алгоритм ортогональных преобразований предельно упрощен – по принятым ранее обозначениям генератор запишется как D2:B1//D0-4. Здесь, как и ранее, D2 - размерность пространства , Birth - рождение, , Death - отмирание, Survival - выживание, которое, как здесь, по невостребованности отсутствует.

Интерпретация формулы преобразований следующая: 1) - в построениях в качестве соседних участвуют 4 ближайшие клетки, ортогонально расположенных к ведущему элементу aij; 2) - процедура существования отменяется, то есть отмирание происходит всегда; 3)- рождение происходит при числе соседей, равном 1; 4)- цвет рождения здесь определяет ведущий элемент.

Правило 4) в большей степени, как оговорено ранее, относится к двухцветному, шахматному варианту игры. Далее, для реализации цветности, будет использоваться принцип декомпозиции - суперпозиции цвета.

Направления развития паттерна в случаях одиночной фишки (слева) и линейной цепочки Ц2, в ортогональных преобразованиях.

Таким образом, имеется алгоритм итераций, с неограниченным по времени и пространству пределами. Имеется прообраз, своего рода затравка и генератор как алгоритм преобразований.

Цвет неиссякаем, мертвые зоны (черный цвет) могут вовсе отсутствовать), цвет строится алгоритмически по правилу 4 - шахматному принципу, или на основе принципов декомпозиции - суперпозиции (интерференции - !) изображений.

В формуле алгоритма преобразований последнее можно более полно отобразить >> D2:B1//D0-4, х3 - г20 в15 (или д10). Первая часть формулы иллюстрирует, как и ранее, правила трансформации поколений.

Далее, комментируется правило суперпозиции, а именно, х3 - в построениях участвуют три процесса в основных тонах со сдвигом друг относительно друга г20 - 20px по горизонтали, в15 - 15 px по вертикали, или, при необходимости, д10 - 10px по диагонали.

Указанное позволяет полностью идентифицировать изображение, поскольку показывается как исходное положение - прообраз, так номер поколения.


Стохастичность может привноситься на этапе формирования прообраза - исходной конфигурации, фигуры 0-го поколения (см., например, ниже - вариант 9), либо инъекцией в случайное время случайно образованного паттерна в дегенерирующую общую композицию.

Стохастические фракталы требуют особого внимания в связи с неравнодушным отношением автора к статистике вообще, и статистической динамике, в частности. Развитие этой темы - в отдельном материала автора.

Здесь отметим лишь то, что полностью отрицать возможность возникновения в том или ином виде зон деградации нельзя - по центру композиций может прослеживаться превалирование хаоса, энтропия - вдалеке от атакующего авангарда дает себя знать ))

Внимание! Далее на скриншотах справа дается черно-белая аппроксимация приводимых изображений, в центре показана исходная конфигурация - прообраз и его шахматная нотация. Номер поколения преобразований указан справа сверху, что дает возможность, как указано выше, полностью идентифицировать текущее изображение

В качестве прообраза, см. далее по тексту, выбраны (последовательно): черный квадрат 3х3, фигура плотик, белый квадрат 8х8, и, далее, жаба, змея...

Для совершенно неординарных умов предлагается нижеследующее.

Реализация в системе HTML-JavaScript-Canvas фрактального ортогонального суперпозированного алгоритма преобразований. Более подробное расписание вариантов см. при запуске приложения.

Посмотреть. Игровое поле 100х100. Ортогональный суперпозированный алгоритм. Задайте вариант сценария (см. ниже).

The Orto Fractal Full Colour Life+: формат 100х100px, разрешение 4px, генератор D2:B1//D0-4, х3-г0в6(д0). Справа - черно-белая аппроксимация полноцветного (Full Colour) изображения.

Далее, the Orto Fractal Full Colour Life+: формат 600х600px, разрешение 4px, генератор D2:B1//D0-4, х3-г0в6(д0).

Посмотреть. Игровое поле 600х600. Ортогональный суперпозированный алгоритм. Задайте вариант сценария (см. ниже).

Варианты:

0 и по умолчанию - одиночная фишка,
1 - диагональная цепочка Ц2,
2 - черный квадрат 2х2,
3 - черный квадрат 3х3,
4 - черный квадрат 4х4,
5 - фигура ботик, вес 5,
6 - фигура плотик, вес 6,
7 - фигура змея, вес 6,
8 - фигура жаба, вес 6,
9 - белый квадрат 8х8 по центру,
10 - вертикаль по центру Ц8,
11 - крест по центру 8х8,
12 - квадрат 2х2 с усами...
99 - квадрат 3х3, случайный засев фигуры.

Для наглядности далее приводится изображение, полученное на более раннем этапе преобразований (поздняя картинка - см. в начале статьи, прообраз - фигура 'жаба'). Прослеживаются фрагменты самоподобия, что отвечает определению фрактала, см. картинка справа - черно-белая аппроксимация.

Фрактальный микроскоп. Сверху - прообраз 'змея'. Игровое поле 600х600px.

Представляются преобразования в ортогональном, в том числе расширенном его вариантах с использованием правил цветности, отражений в ватных границах (поглощение на границах), декомпозиции - суперпозиции изображений.

Показываются возникающие при этом бесконечные коллизии цвета и граничных образований, полностью отвечающих определению фрактала...

Таким образом, в связи с наличием всех стандартных признаков классических фракталов, в том или ином вариантах или их сочетании, следует говорить о новом, комбинированном классе - волновых цвето-геометрических фракталов.

Продолжение воспоследует )) Тема - стохастические фракталы... Подробности на сайте автора http://shcheglov.clan.su .

В производстве.

См. также Дзен автора >> zen.yandex.ru/id/5f9804cf65d7f24f5fe59207