В производстве.
Новое в подвале стр. - выделено красным...


Волновые детерминированные и стохастические цвето-геометрические фракталы © Продолжение.

Щеглов Г. П.

канд. техн. наук, доцент

Тульский государственный университет, Россия, г. Тула

Представляются волновые детерминированные и стохастические цвето-геометрические фракталы, построенные на применении ортогонального алгоритма преобразований, принципах суперпозиции и декомпозиции цвета по типу Life+.


Ключевые слова: Джон Конвей, Life, ортогональный, суперпозиция, декомпозиция, Бенуа Мандельброт, фрактал, фрактальная геометрия
.


Интродукция.

"О, сколько нам событий чУдных"... Новый класс: цвето-геометрические фракталы Life+!
Два имени , которые привлекают внимание автора в течение нескольких десятилетий - это Джон Конвей и Бенуа Мандельброт.

Для увеличения изображения здесь и далее - нажать на картинку!



Регулярные и стохастические (случ. приостановка развития) элементы волнового цвето-геометрического фрактала Life+.
Здесь и далее справа - черно-белая аппроксимация, в центре - прообраз (квадрат 2х2 с хвостами).
Прослеживаются признаки самоподобия - при развитии прообраза.

Содержание статьи.

Введение. Джон Конвей и Бенуа Мандельброт.
Фракталы и их классификации.
Волновые цвето-геометрические фракталы.
Стохастические цвето-геометрические фракталы.
Методика статистического анализа и моделирования.
Множественные примеры...
Заключение. Новый класс стохастических цвето-геометрических фракталов.

Введение.

Два имени, которые привлекают внимание автора в течение нескольких десятилетий - это Джон Конвей и Бенуа Мандельброт.

Джон Хортон Конвей /1937 - 2020/ - создатель The Game of Life , в раннем русскоязычном переводе Эволюция, позднее Игра Жизнь . Гениальное изобретение /1970/ Д.Х. Конвея, проф. Принстона и Кембриджа. В классическом представлении - одноцветная, пассивная, созерцательная игра одного игрока (zero-game), которая происходит на бесконечном клетчатом поле.

Бенуа Б. Мандельброт /1924 - 2010/ - автор понятий фрактал, фрактальная геометрия, появившихся в конце 70 гг. Фрактал (от латинского fractus ) означает состоящий из фрагментов, предложено автором в 1975 году для обозначения нерегулярных, самоподобных структур.



Регулярные и стохастические (случайная приостановка) элементы волнового цвето-геометрического фрактала Life+.
Прообразы: верхний рис. - полуботик, или диаг. цеп. Ц2, нижний рис.- плотик, или двойная диаг. цеп. Ц3.


Определить место авторских направлений в системе фрактальной геометрии и машинной графики поможет приводимые ниже характеристики алгоритмов построения фракталов - типа А и В, а также сопряженных, по мнению автора, алгоритмов Game of Life и Life+.

Классификация А:

геометрические, алгебраические, стохастические фракталы.

1. Геометрические фракталы - самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью фигуры, называемой прообразом, или затравкой. За один шаг алгоритма, то есть итерацию, каждый из фрагментов, составляющих фигуру, заменяется на фигуру в соответствующем масштабе.

2. Алгебраические фракталы - самая крупная группа. Наиболее изучены двухмерные итерационный процессы их построения, представляя которые можно пользоваться терминологией этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.

Примеры для 1 и 2 - это фрактал и множество Мандельброта.

Классификация В:

детерминированные (алгебраические и геометрические), недетерминированные (стохастические) фракталы.


Регулярные элементы в их стохастическом сочетании - волновой фрактал Life+.


3. Стохастические фракталы в той или иной классификации - в итерационном процессе построения фрактала хаотически изменяются какие-либо его параметры. Можно предложить неравные части разбиения затравки, случайные изменения длин и углов сопряжения элементов по п.1...

Далее, например, отслеживать параметры торможения процесса по п.2, и случайно расцвечивать его оттенками серого. Совершать инъекции 'омоложения' деградирующего процесса...

Исследуемые автором волнообразные итерации Life+ включают все (или почти все) элементы приведенных выше классификаций. Подробнее см. предыдущую статью автора на Дзен...

Волновые фракталы.

Авторское представление. Вводное сообщение.


Волновой детерминированный цвето-геометрический фрактал. Прообраз в центре.
Справа - черно-белая аппроксимация. Случайная приостановка процесса развития.

Классический (орто-диагональный) алгоритм преобразований - итераций в Game of Life Д. Конвея реализует алгоритм D2: B3/S2,3/D1,4-6. Здесь (см. предыд. материал автора на Дзен) D2 - размерность пространства , Birth - рождение, Survival - выживание, Death - отмирание.

Классический алгоритм все-таки показывает свою ограниченность в смысле цвета и геометрики новообразований. Фигура может зациклиться или приостановить свое развитие, а то и вовсе погибнуть...

Ортогональный алгоритм, предложенный автором в развитие классической Game of Life, напротив, имеет огромный потенциал роста, показывая неостановимую, волнообразную генерацию поколений.

Алгоритм ортогональных преобразований предельно упрощен – по принятым ранее обозначениям генератор запишется как D2:B1//D0-4. Здесь, как и ранее, D2 - размерность пространства, Birth - рождение, Death - отмирание, Survival - выживание, которое, как здесь, по невостребованности отсутствует.

Интерпретация формулы ортогональных преобразований следующая:

1) - в построениях в качестве соседних участвуют 4 ближайшие клетки, ортогонально расположенных к ведущему элементу aij;
2) - процедура существования отменяется, то есть отмирание происходит всегда;
3)- рождение происходит при числе соседей, равном 1;
4)- цвет рождения здесь определяет ведущий элемент.

Правило 4) в большей степени относится к двухцветному, шахматному варианту игры. Далее, для реализации цветности, будет использоваться принцип декомпозиции - суперпозиции цвета.

В формуле алгоритма ортогональных преобразований последнее можно более полно отобразить >> D2:B1//D0-4, х3 - г20 в15 (или д10). Первая часть формулы иллюстрирует, как и ранее, правила трансформации поколений.

Далее, комментируется правило суперпозиции, а именно, х3 - в построениях участвуют три процесса в основных тонах со сдвигом друг относительно друга г20 - 20px по горизонтали, в15 - 15 px по вертикали, или, при необходимости, д10 - 10px по диагонали.

Обширный материал автора по теме волновых фракталов см. здесь ниже.

Волновой детерминированный цвето-геометрический фрактал. Прообраз в центре. Справа - черно-белая аппроксимация.

Волновые стохастические фракталы. Стохастичность в волновые фракталы может привноситься на этапе формирования прообраза - исходной конфигурации, фигуры 0-го поколения (см., например, ниже - вариант 9), либо инъекцией в случайное время случайно образованного, или детерминированного паттерна в дегенерирующую общую композицию.

Здесь отметим то, что полностью отрицать возможность возникновения в том или ином виде зон деградации нельзя - по центру композиций может прослеживаться превалирование хаоса, энтропия - вдалеке от атакующего авангарда дает себя знать ))

Для оздоровления дегенерирующих областей автором применяются методы, показанные выше.

Стохастические фракталы требуют особого внимания в связи с неравнодушным отношением автора к статистике вообще, и статистической динамике, в частности. Развитие этой темы - далее здесь в материале автора © .

Конструирование стохастических объектов, в нашем случае - фракталов, невозможно без знаний основ статистического анализа и моделирования.

В свое время автору удалось создать методику © применения математического аппарата статистики к исследованию и моделированию различных процессов и систем в области экономики и технических наук. См. стр. Публикации на сайте автора, например, http://www.shcheglov.clan.su/depn.jpg или дисс... к.т.н https://search.rsl.ru/ru/record/01008822028 и др.




Волновой детерминированный цвето-геометрический фрактал. Прообраз в центре.
Справа - черно-белая аппроксимация. Случайная приостановка процесса развития.

Методика, в краткой форме,

без детализации, выглядит следующим образом. При первом прочтении пропустить.

Статические статистические методы. Рассматривается один, авто- ... случайный процесс изменения некоторого показателя. Этот показатель X описывается следующими точечными характеристиками: положения - средняя величина..., рассеяния - вариационный размах, дисперсия..., распределения - асимметрия, эксцесс..., связанности отдельных реализаций процесса - автокорреляции...

Показанные (а это далеко не все!) характеристики являются точечными. Назовем одну из функциональных характеристик - функцию распределения F(X), которая демонстрирует насколько текущий процесс изменения показателя (пока одного!) отличается от ординарного, статистически независимого процесса...

Перечисленные точечные характеристики применяются ко второму процессу, теперь Y. То же относится к функции распределения F(Y).

Кроме авто-, существуют парные (а затем и множественные!) характеристики, в простейшем случае пар процессов X и Y. Главная здесь - оценка тесноты связи, или взаимной коррелированности этих процессов - коэффициент парной r (а затем и множественной!) корреляции.

Тем же целям, по сути, служат коэффициенты ковариации cov, регрессии a и смещения b линии регрессии. Перечисленное показывает не только тесноту, но и вид статистической связи случайных процессов.

Функциональные характеристики пары процессов - одна из них парная функция распределения совместного изменения показателей, которая показывает отличие от ординарного двумерного распределения...

Перечисленное выше являет амплитудные статические характеристики как собственно процессов, заданных автономно, так пар и более случайных процессов в совместном их изменениях.

Динамические статистические методы... В отличие от амплитудных, здесь изучаются временнЫе и частотные как авто- характеристики отдельных процессов, так кросс-, или взаимные характеристики пар и более случайных процессов в их взаимодействии.

К временнЫм авто- характеристикам относятся автокорреляционная и автоковариационая функции, показывающие степень связи текущих реализаций i процесса X с предшествующими реализациями j этого же процесса (первая - в нормированном виде).

К временнЫм взаимным характеристикам относятся кросскорреляционная и кроссковариационая функции, показывающие степень связи текущих реализаций i процесса X с предшествующими реализациями j другого процесса Y.


Волновой стохастический цвето-геометрический фрактал. Прообраз -
случайный засев в квадрате 3х3 по центру. Справа - черно-белая аппроксимация. Развитие процесса.

К частотным характеристикам относятся (авто)спектральная плотность и (авто)фазовая характеристика, показывающие, соответственно, частотный и фазовый состав изменчивости процесса X. То же относится ко второму процессу Y, участвующему в построении парных характеристик.

Общее наименование парных характеристик - взаимная (кросс)спектральная плотность, которая разделяется на синфазную и квадратурную составляющие. Иное полагает выделение амплитудного и фазового спектра кросспектральной плотности.

Последнее из перечисленного необходимо при построении амплитудно-частотной - АЧХ и фазо-частотной - ФЧХ характеристик, показывающих усиление или ослабление передачи амплитуды или/и фазы между процессами.

Апофеоз методики - функция парной когерентности, демонстрирующая наличие-отсутствие, точнее, степень связи по той или иной частоте для пары показателей.



Развитие черного квадрата, по центру образуется (случайный) серый шум ))

Следует отметить, что как временнЫе, так частотные характеристики могут быть не только парными, но и множественными. Пример из последнего - это функция множественной когерентности, интерпретация которой аналогична предыдущему, парному случаю.

В заключение раздела -

два момента: 1 - о согласованности теоретических и эмпирических оценок исследуемых показателей, и 2 - о конкретных алгоритмах построения тех или иных характеристик.

По п. 1 - согласованность проверяется по критериям согласия, например, критерию Вестергарда согласия эмпирического и теоретического, например, экспоненциального распределений показателя.

По п. 2 - статические оценки, будь то точечные или функциональные, довольно просты в вычислениях и интерпретации, динамические же требуют отдельного отношения.

В период пребывания в аспирантуре и работы в Экспедиции автор полностью реализовал изложенную методику (ИНФ, Fortran, C+, JavaScript...). Отношение к отдельные ее элементам было разное...

Автор, например, неравнодушен к формулам Фурье, дающим замечательную интерпретацию амплитудного и фазового спектров разложения исследуемых показателей!..

Применение отдельных разделов изложенного совершенно необходимо при исследовании волновых вообще, и, в частности, волновых стохастических фракталов.

Более подробно см. стр. Публикации на сайте автора, например, http://www.shcheglov.clan.su/depn.jpg или дисс... к.т.н https://search.rsl.ru/ru/record/01008822028 .



Случайная интервенция по центру деградирующей популяции.

Для неординарных умов

предлагается нижеследующее: the Orto Fractal Full Colour Life+: формат 100х100px, разрешение 4px, генератор D2:B1//D0-4, х3-г0в6(д0).

Посмотреть. Игровое поле 100х100. Ортогональный суперпозированный алгоритм. Задайте вариант сценария (см. ниже).

Далее: the Orto Fractal Full Colour Life+: формат 600х600px, разрешение 4px, генератор D2:B1//D0-4, х3-г0в6(д0).

Посмотреть. Игровое поле 600х600. Ортогональный суперпозированный алгоритм. Задайте вариант сценария.

Варианты:

0 - 12 - детерминированные фигуры по подобию Life+ к качестве прообраза (см. статью 12a на Дзен >> zen.yandex.ru/id/5f9804cf65d7f24f5fe59207),
99 - квадрат 3х3, случайный засев фигуры в поле квадрата.

В процессе диалога, в обоих вариантах приложений ввести:

- вариант сценария, например, 3 (по умолчанию - 0, см. выше),
- начальное значение номера хода, например, 5 (по умолчанию - 0), и
- конечное значение номера хода, например,100 (по умолчанию - 500) для вывода на экран.


Случайное соединение фрагментов изображения образует новые непредсказуемые комбинации...
Предшествующие изображения (вы удивитесь! - прообраз тот же - квадрат 2х2) приведены выше


Фрактальный микроскоп.

Явление фрактального микроскопа. Любую из фигур, получаемую из соответствующего прообраза, можно посмотреть в различном масштабе.



Детализация изображения посредством фрактального микроскопа, примененного по центру популяции.

Например, прообраз 11 (крест 8х8) смотрится в масштабе 600х600px на 44 ходу следующим образом - рис сверку.

Применение фрактального микроскопа для того же прообраза позволяет рассмотреть фигуру, образуемую на том же 44-м ходу, уже в масштабе 100х100px (более укрупленно!).

Приступайте к исследованиям прямо сейчас! Для этого задайте одинаковые данные по запросу как первой, так следующей за ней программы: номер прообраза (здесь 11), шаг начала (44) и окончания (44) вывода изображения.

Для фиксации изображения номера шагов начала и окончания печати должны совпадать - у нас 44.

Развитие темы.

Алгоритм, показанный выше, демонстрирует работу трех ортогональных процедур преобразования, действующих по одному и тому же прообразу. Результаты работы этих трех однотипных процедур затем накладываются по принципу суперпозтции цвета, образуя т.о. полноцветное изображение.

Закрадывается мысль использовать те же три процедуры, но по разным прообразам, что, по мнению автора дает большее геометрическое и цветовое многообразие результирующей картинки.

В части развития темы статьи следует предложить разнообразить сдвиги монохромных составляющих, в т.ч. использовать разные прообразы для монохромных ортогональных преобразований...

Для совершенно уже неординарных умов

предлагается реализация в системе HTML-JavaScript-Canvas фрактального ортогонального суперпозированного алгоритма преобразований с разными прообразами: the Orto Fractal Full Colour Super Life+, формат 100х100px, разрешение 4px, генератор D2:B1//D0-4, 123-г0в6(д0).

Посмотреть. Игровое поле 100х100. Ортогональный суперпозированный алгоритм. Три разных прообраза. Задайте варианты прообразов (см. ниже).

Далее: the Orto Fractal Full Colour Super Life+: формат 600х600px, разрешение 4px, генератор D2:B1//D0-4, 123-г0в6(д0).

Посмотреть. Игровое поле 600х600. Ортогональный суперпозированный алгоритм. Три разных прообраза. Задайте варианты прообразов (см. ниже).

Прообразы 0 - гориз. цепочка Ц8, 1 - вертик. цепочка Ц8, 2 - крест 8х8 по центру, 3 - левая диаг. цепочка Ц8, 4 - правая диаг. цепочка Ц8, 5 - диаг крест 8х8 по центру...

В процессе диалога, в обоих вариантах приложений ввести:

- вариант 1-го прообраза, например, 3 (по умолчанию - 0, см. выше),
- вариант 2-го прообраза, например, 4 (по умолчанию - 0, см. выше),
- вариант 3-го прообраза, например, 5 (по умолчанию - 0, см. выше),
- начальное значение номера хода, например, 5 (по умолчанию - 0), и
- конечное значение номера хода, например, 100 (по умолчанию - 500) для вывода на экран.

В этом случае в качестве пробразов выбираются: крест 8х8, диагональные левая, и правая Ц8. Показываются фрактальные изображения 5-го по 100 ход.

Для простейшего же варианта достаточно нажать 5 раз Enter... Для всех 3-х прообразов по умолчанию выбирается горизонтальная Ц8, а на экран выводятся фрактальные изображения с 0-го по 500-ое.

Для идентификации текущего изображения использовать нотации каждого из трех прообразов и номер поколения. Подр. см. сайт автора >> Приложения, Феномены2, Фракталы1,2...


Выводы.

Представляются преобразования в ортогональном, в том числе расширенном вариантах с использованием правил цветности, отражений в ватных границах (поглощения), декомпозиции - суперпозиции изображений.

Показываются возникающие при этом бесконечные коллизии цвета и граничных образований, полностью отвечающих определению фрактала...

Сайт автора >> http://shcheglov.clan.su
Клуб Эволюция >> Контакты >> http://shcheglov.clan.su/index/0-3

Условия вступления.

Замечания, предложения по темам работ автора - зеленая карта, степень Bk Ev.
Погрешности в статьях - синяя карта, степень Mg Ev. Совместная статья - красная карта, степень Esq. Ev.
Займемся исследованиями прямо сейчас - на интерактивных Приложениях сайта!



В производстве.
См. также популярно на Дзен автора >> zen.yandex.ru/id/5f9804cf65d7f24f5fe59207